已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*． （1）证明：{an-1}是等比数列；

已知数列{an}的前n项和为Sn，且S_n=n-5a_n-85，n∈N*．

（1）证明：{a_n-1}是等比数列；

（2）求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

答案：

（1）∵S_n=n-5a_n-85，n∈N*．

∴S_n+1=n+1-5_an+1-85，n∈N*．

两式作差得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即6（a_n+1-1）=5（a_n-1），即（a_n+1-1）=5/6（a_n-1），n∈N*．

故{a_n-1}是等比数列

（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N*．得S_n+1=n+1-5（S_n+1-S_n）-85，n∈N*．

得6S_n+1=n+5S_n-84，即6[S_n+1-（n+1）]=5（S_n-n）-90，

即S_n+1-（n+1）=5/6（S_n-n）-15

整理得S_n+1-（n+1）+90=5/6（S_n-n+90）

故{S_n-n+90}是一个等比数列，其公比为5/6

，由于a₁=1-5a₁-85，得a₁=-14

故{S_n-n+90}的首项为-14-1+90=75

故S_n-n+90=75×(5/6)n−1，即S_n=n-90+75×(5/6)ⁿ⁻¹，

由于S_n+1-S_n=1-75/6×(5/6)ⁿ⁻¹，令S_n+1-Sn＞0，对n赋值验证知n＞15时成立，即S_n其最小值是S₁₅

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